數字系統及數字系統的轉換

 

數字系統及數字系統的轉換

電腦內部資料是以0和1來儲存的，這種只有0和1兩種狀態的系統，相當於二進位系統；本節將就二進位系統探討其轉換、加、減、AND及OR運算。

1.電腦常用數字系統

1. 十進位制(decimal number system)：十進位制是一種滿10進位，基底為十的數字系統，由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9等十個數字組成，為日常生活中普遍使用的數制。例1278₁₀，其基底通常被省略，亦即1278。
2. 二進位制(Binary number system)：二進位制是一種滿2進位，基底為二的數字系統，由0和1兩個數字所組成，為電腦最基本的數字系統。通常表示時會在數字前加一"B"以便於識別，例B1101或110₂。
3. 八進位制(octal number system)：八進位制為逢8進位的數字系統，由0、1、2、3、4、5、6、7所組成，通常於數字前加"＆"或"＆O"字母符號識別，例如&O467或456₈。
4. 十六進位制(hexadecimal number system)：十六進位制為逢16進位的數字系統，由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F所組成，其中A表十進位的10，B表 11，依次類推，其識別方式是於數前加"＆H"，例如＆H123C，＆HA28。或123C₁₆。

表一　各數字系統對照表

2.數字系統的轉換

(1) 十進位數轉換成二進位數
方法：

1. 整數部份：將十進位整數連除以2，直到商數為0，再從下往上依次取出餘數。
2. 小數部份：將十進位小數連乘以2，直到適當位數為止，從上往下依序取其整數

【例】43.625₁₀ ＝　　　　　　　 ₂。

解：(a)整數部份

 (b)小數部份

(2).二進位數轉換成十進位數
方法：將2進位每一位數分別乘以其位值， 再把結果加起來即可。

【例】 101011.101₂=　　　　　　　₁₀

解：二進位數各位值如下:

3.二進位數的邏輯運算

邏輯運算是數學家布林(Boolean)根據數位邏輯閘所發展出來的，茲擇要列表如下：

表二　邏輯符號及相關說明

根據上表做一些練習如下：

解：

4.二進位數的算術運算

二進位數的算術運算以加、減、乘、除的四則運算，它的作法和十進位相近，只是二進位數在加法時滿2進1，在減法時借1當作2，其餘相同，列表如下：

5.補數的運算

接著，從邏輯電路的觀念來了解一下電路是如何進行相加的。首先寫出「被加數＋加數＝和、進位」的真值表如下圖(a)所示，其中和的真值表是XOR閘的關係，進位則是AND的關係，進而劃出電路圖如下圖(c)所示。

被加數A	加數B	和S	進位C
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

(a)真值表

此圖是一個最基本的加法電路，必須要有兩個這種電路才能執行一個完全的加法（包括上一個的進位也必須加進來），在電腦內為了簡化電路，因此是以加法器為基本運算單元，減法時以加補數方式進行，乘法則是連加、除法是連加補數，都是以加法方式完成的，何謂補數呢？補數又如何來完成減法呢？
所謂補數(Complement)是指兩個數字加起來等於某數時，則稱該二數互為某數的補數；例如3的10補數為7，同理7的10補數為3。而補數有助減法運算用加法器來執行。例如4的十進位補數為6，故：

對二進位而言有1補數系統和2補數系統兩個。
(1) 1的補數系統(1's Complement)：1補數系統是指兩數之和為1，則此兩數互為1的補數，亦即0和1互為１的補數。換言之，欲求得二進位數的1補數，只需將0變成1，1變成0即可；例如1010₂ 的1補數為0101₂。
(2) 2的補數系統(2's Complement)：2補數系統的求法是先取該數的1補數，再加1即可，如下例：

【例】求0100之2補數

解：

以2補數法求兩數相減的步驟如下：

1. 取減數的2補數。
2. 和被減數相加。
3. 相加後會產生有無溢位問題，再分別處理：
4. 若沒有溢位，表示其結果為負值，再取此結果的2補數，才能得到正確的答案。
5. 若發生溢位，表示其結果為正值，則將此溢位捨棄，即得正確的答案。

【例】以2補數求1101－0100 ＝　　　　　 ₂

解：