2013.03.08-進位制換算

數字系統

在電腦領域常用的數制

1.二進位數制：電腦內部是以二進位的形式來儲存及處理資料。

2.十進位數制：人類日常生活中常用的數制。

3.八進位數制與十六進位數制：電腦中所用的二進位制可以轉換為八進位制與十六進位制，以方便使用者檢視電腦內部的資料。

數制的基本特性

1.各數制使用的符號個數與數制本身的基數相同；例如十進位制的基數為10，二進位制的基數為2。

(1)十進位制：使用符號共10個，包括：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

(2)二進位制：使用符號共2個，為0與1。

(3)八進位制：使用符號共8個，包括：0、1、2、3、4、5、6、7。

(4)十六進位制：使用符號共16個，包括：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。

2.人類常以一連串的數字符號表示一個數值，每一個數字符號會隨著它所在位置的不同，而有不同的位值。

3.高一位的位值是低一位的位值乘以其基數。例如在十進位制中10¹是10⁰的高一位，而10¹ = 10⁰ ×10，其中10便是此數字系統的基數。

4.一串數字所代表的值，是各個數字符號所代表的數值乘以其位值的總和。

常用的數制說明

1. 十進位數制：

(1)以10為基數、逢10進位的數制。

(2)使用的符號：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9

(3)位值：

        整數→10ⁿ、10^n-1……、10³、10²、10¹、10⁰。

        小數→10^-1、10^-2、……10^-m。

2. 二進位數制：

(1)以2為基數，逢2進位的數制。

(2)使用的符號：0、1

(3)位值：

        整數→2ⁿ、2^n-1……、2³、2²、2¹、2⁰。

        小數→2^-1、2^-2、……2^-m。

3. 八進位數制：

(1)以8為基數，逢8進位的數制。

(2)使用的符號：0、1、2、3、4、5、6、7。

(3)位值：

整數→8ⁿ、8^n-1……、8³、8²、8¹、8⁰。

小數→8^-1、8^-2……8^-m。

4.十六進位數制：

(1)以16為基數，逢16進位的數制。

(2)使用的符號：0~9、A、B、C、D、E、F，其中A代表10，B代表11、C代表12、D代表13、E代表14、F代表15。

(3)位值：

        整數→16ⁿ、16^n-1……、16³、16²、16¹、16⁰。

    小數→16^-1、16^-2……16^-m。

各數制的對照表

十進位數	二進位數	八進位數	十六進位數
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

十進位轉換成二進位、八進位、十六進位

1.整數部分轉換方式：

(1)將該數連續以要轉換的數制之基數，直到商為0為止。

(2)由下往上取每次相除所得的餘數。

2.小數部分轉換方式：

(1) 遇到帶有小數的數字，將小數點後的數字乘以要轉換的數制之基數，再將所得乘積小數點後的數字乘以要轉換的數制之基數，如此重複直到小數點後的數字全部為0時停止。

(2)由上而下取每次相乘所得的整數。

二進位轉換成十進位、八進位、十六進位

1.二進位轉換成十進位：

(1)將每一個二進位數乘以該數的位值。

(2)將所有相乘所得的結果相加。

2.二進位轉換成八進位：

(1)正規法：先將二進位轉換成十進位，再將十進位轉換為八進位。

(2)快速法：將二進位數每三個一組轉換成相對應的八進位數，分組時若不足三位，整數部分是左邊補0；小數部分則是右邊補0。

        000 = 0     001 = 1     010 = 2     011 = 3

        100 = 4     101 = 5     110 = 6     111 = 7

4. 二進位轉換成十六進位：

(1)正規法：先將二進位轉換成十進位，再將十進位轉換為十六進位。

(2)快速法：將二進位數每四個一組轉換成相對應的十六進位數，分組時若不足四位，整數部分是左邊補0；小數部分則是右邊補0。

        0001 = 1     0010 = 2     0011 = 3     0100 = 4

    0101 = 5     0110 = 6     0111 = 7     1000 = 8

    1001 = 9     1010 = A     1011 = B    1100 = C

    1101 = D     1110 = E     1111 = F

八進位和十六進位互轉換

1.八進位轉換成十六進位：

(1)正規法：先將八進位轉換成十進位，再將十進位轉換為十六進位。

(2)快速法：將八進位數轉換成三個一組的二進位數，再將二進位數每四個一組轉換成相對應的十六進位。

2.十六進位轉換成八進位：

(1)正規法：先將十六進位轉換成十進位，再將十進位轉換為八進位。

(2)快速法：將十六進位數轉換成四個一組的二進位數，再將二進位數每三個一組轉換成相對應的八進位數。

數制的加減運算

1.2進位、8進位、10進位、16進位，這些數制系統的加減原則皆相同。

2.當相加所得的值超出數制的基數 (溢位) ，就必須向上進位；反之，如果被減數小於減數則須向上借位。