布林代數

3.3　布林代數的基本定理與定律

布林代數是處理邏輯的運算，運算時必然有一些基本規則可循，我們稱之為定理，這些定理都是根據三個邏輯基本運算關係所定出，並不是布林代數還有新的運算因子，初學者只要把握住邏輯的思維方式，以下的幾個定理是不難理解的。

　

3.3-1　基本定理

定理(1) X．0 = 0

說明：AND的運算，在變數條件均為1時結果方為1 ，此定理中的一個變數已經固定為0，所以不管X為1或0其結果必為0。

定理(2) X．1 = X

說明：AND的運算，在變數條件均為1時結果方為1 ，此定理中的一個變數已經固定為1，若X為1則結果為1，若X為0則結果為0，所以X．1 = X。

定理(3) X．X = X

說明：AND的運算，在變數條件均為1時結果方為1 ，若X為1則1．1 = 1，若X為0則0．0 =0，所以X．X = X。

定理(4) X．X’= 0

說明：AND的運算，在變數條件均為1時結果方為1 ，而X與X’總是相反的，亦即1．0 = 0或0．1 =0，所以X．X’= 0。

定理(5) X + 0 = X

說明：OR的運算，在變數條件任何一者為1時結果為1 ，若X為1則1+0 = 1，若X為0則0 + 0 =0，所以X + 0 = X。

定理(6) X + 1 = 1

說明：OR的運算，在變數條件任何一者為1時結果為1 ，此定理中的一個變數已經固定為1，所以X+1 = 1。

定理(7) X + X = X

說明：OR的運算，在變數條件任何一者為1時結果為1 ，若X為1則1+1 = 1，若X為0則0 + 0 =0，所以X + X = X。

定理(8) X + X’= 1

說明：OR的運算，在變數條件任何一者為1時結果為1 ，而X與X’總是相反的，亦即1 + 0 = 1或0 + 1 = 1，所以X + X’= 1。

布林代數除了以上的定理可以作為運算時的法則之外，在多變數的運算式中尚有一些定律可以運用。

　

3.3-2　基本定律

定律(1) 交換律：

a. X+Y = Y+X

b. X．Y = Y．X

定律(2) 結合律：

a. (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)

b. (X．Y)．Z＝X．(Y．Z)

定律(3) 分配律：

a. X．(Y+Z)＝XY+XZ

b. X+(Y．Z)＝(X+Y)．(X+Z)

c. (W+X)．(Y+Z)＝WY+WZ+XY+XZ

定律(4) 吸收律：

a. X+XY＝X

b. X+X’Y＝X+Y

証明：X+XY＝X

X+XY＝X(1+Y)                                                         (分配律)

　　　　＝X．1                                                       (∵1+Y＝1)

　　　　＝X

証明：X+X’Y＝X+Y

X+X’Y＝X (1+Y) +X’Y　　                                ( ∵1+Y＝1)

　　　　＝X+XY+X’Y　　　 　                         (分配律)

　　　　＝X+ ( X+X’)Y                                        (分配律)

　　　　＝X+Y                                                        (∵X+X’＝1)

             

布林代數只有三種基本運算如表3.1。至於基本邏輯閘與布林代數的對應關係如表3.2，其中NAND、NOR、XOR、XNOR運算是NOT、AND、OR的混合運算。 表3.2.1 布林代數基本運算 運算方式 簡稱 運算符號 運算式 邏輯補數 NOT X= 邏輯乘法 AND ． X=A．B 邏輯加法 OR + X=A+B 表3.2.2 基本邏輯閘與布林代數關係 邏輯閘 簡稱 布林代數 運算式 反向閘 NOT NOT X= 及閘 AND AND X=A．B 或閘 OR OR X=A+B 反及閘 NAND NOT-AND X= 反或閘 NOR NOT-OR X= 互斥或閘 XOR EX-OR X= 互斥反或閘 XNOR EX-NOR X=